Question

1．抛物线C：y²=4x的焦点为F，设过点F的直线l交抛物线与A，B两点，且$|{AF}|=\frac{4}{3}$，则|BF|=4．

Answer 1

分析 根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理可求得x₁x₂的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入 $\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$可得其值为1，再由|AF|=4，即可得到|BF|．

解答 解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1．
设过F点直线方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程，得 k²（x-1）²=4x．
化简后为：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有x₁x₂=1
根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=1，
又由$|{AF}|=\frac{4}{3}$，可得$\frac{3}{4}+\frac{1}{|BF|}=1$，则|BF|=4．．
故答案为：4

点评 本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．