Question

若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线或的“自公切线”。
下列方程：
①；
②；
③；
④
对应的曲线中存在“自公切线”的有(      )

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

C

解析试题分析：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②，在 x=和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．
③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④，即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为②③．选C。
考点：圆锥曲线的几何性质，分段函数的概念，三角函数辅助角公式，三角函数的图象和性质。
点评：中档题，本题综合性较强，考查知识点覆盖面广。正确理解新定义“自公切线”，利用数形结合思想，正确画出函数的图象，是解题的关键。