Question

设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b，0＜a＜1．

（1）求函数f（x）的单调区间、极值；

（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值．

 

Answer 1

（1）函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）．当x=a时，f（x）的极小值为﹣a3+b；当x=3a时，f（x）的极大值为b．

（2）当x=a时，f（x）的最小值为﹣a3+b；当x=0或x=3a时，f（x）的最大值为b．

【解析】

试题分析：（1）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），令f′（x）=0，解出x，再根据导数与单调性的关系求解即可得到函数f（x）的单调区间、极值；

（2）由（1）知函数当x∈（0，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．进而得到函数f（x）在[0，3a]上的最值．

【解析】
（1）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2．令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表：

x	（﹣∞，a）	a	（a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	递减	﹣a3+b	递增	b	递减

 

由表可知：当x∈（﹣∞，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．

∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）．当x=a时，f（x）的极小值为﹣a3+b；当x=3a时，f（x）的极大值为b．

（2）x∈[0，3a]，列表如下：

x	0	（0，a）	a	（a，3a）	3a
f′（x）		﹣	0	+	0
f（x）	b	递减	﹣a3+b	递增	b

 

由表知：当x∈（0，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．

∴当x=a时，f（x）的最小值为﹣a3+b；当x=0或x=3a时，f（x）的最大值为b．