Question

已知曲线C:x²+y²tanθ=1,θ∈［0,）,试判断曲线C的形状和几何特征.

Answer 1

思路解析：分类讨论θ的取值范围.

解：∵θ∈［0,，∴tanθ≥0.

当tanθ=0，即θ=0时，

曲线C的方程为x²=1即x=±1.

∴此时曲线C是过（±1，0）与x轴垂直的两平行直线.

当tanθ=1，即θ=时，曲线C的方程化为x²+y²=1.

∴此时曲线C是以原点为圆心，半径为1的圆.

当0＜tanθ＜1即0＜θ＜时，曲线C的方程为+=1.

∴此时曲线C是焦点在y轴上的椭圆，长轴长为2，短轴长为2，e=.

当tanθ＞1即＜θ＜时，曲线C的方程化为+=1.∴此时曲线C是焦点在x轴上的椭圆，2a=2,2b=2,e=.

综上所得，当θ=0时，曲线C是两平行直线；

当0＜θ＜时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；

当θ=时，曲线C是单位圆；

当＜θ＜时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆.

方法归纳

    已知方程确定其形状时，将方程与学习的曲线方程在形式上进行比较，符合哪种曲线方程形式，这条曲线就是哪种曲线形状.但应密切关注系数的符号.