Question

【题目】设f（x）= ﹣ax﹣b（a、b∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y+4=0，求a、b的值；
（2）当b=1时，若总存在负实数m，使得当x∈（m，0）时，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ﹣a，∴f′（1）=1﹣a．

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y+4=0，f（1）=﹣ ．

∴f′（1）=1﹣a=﹣ ，f（1）=e﹣e+1﹣a﹣b=﹣ ．

联立解得：a= ，b=2．

（2）解：b=1时，x∈（m，0），m＜0，

f（x）＜0，可得：a＜ =g（x）．

g′（x）= ，

令h（x）=（x﹣2）ex+x+2，h（0）=0，

h′（x）=（x﹣1）ex+1，h′（0）=0，

h″（x）=xex＜0，

∴h′（x）＜h′（0）=0，

∴h（x）＜h（0）=0，

∴g′（x）＞0，

∴函数g（x）在x∈（m，0）（m＜0）上单调递增，

∴g（x）＞g（m）= ．

∴a≤ （m＜0）．

∴实数a的取值范围是

【解析】（1）f′（x）= ﹣a，根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y+4=0，可得f′（1）=﹣ ，f（1）=﹣ ．即可解出．（2）b=1时，x∈（m，0），m＜0，f（x）＜0，可得：a＜ =g（x）．利用导数研究函数g（x）的单调性与极小值即最小值即可得出．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．