题目内容
某海域有
、
两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线
，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为
轴，
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系。
（1）求曲线的标准方程；（6分）
（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在
处反射信号的时间比为
，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？（8分）
【答案】
（1）
；（2）点
的坐标为
或
。
【解析】
试题分析：（1）由题意知曲线
是以
、
为焦点且长轴长为8的椭圆 3分
又
，则
，故
5分
所以曲线的方程是
6分
（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为
，
因此设此时距、两岛的距离分别比为
7分
即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。
8分
设
，
，由
， 10分
，
12分
13分
点的坐标为或
14分
考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，椭圆与圆的位置关系。
点评：中档题，利用椭圆的定义，明确曲线是椭圆并求得其标准方程为，作为实际问题解决，很好的体现了数学的妙用。
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、
两个岛屿，
，曾有渔船在距
轴，
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系。
处反射信号的时间比为
，问你能否确定
、
两个岛屿，
，曾有渔船在距
轴，
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系。
处反射信号的时间比为
，问你能否确定