Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）若是奇函数，且在区间上是增函数，求的值；

（Ⅱ）设，若在区间内有两个不同的零点， ，求的取值范围，并求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）的取值范围是；

【解析】试题分析：（I）根据奇函数的性质可得 ，分和两种情况，讨论函数的单调性，使其满足在区间上是增函数，从而得出的值；
（II）令 可得 ，作出 的函数图象，根据图象即可得出 的范围，从而得出 的范围，根据 得出 的关系，利用对数的运算性质化简即可得出的值．

试题解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以，所以.

解得， ，或者.

当时， ，则 ，

但，显然不符合要求

当时， ，对于任意的， ，设，

，

即，所以在区间上是增函数，满足要求.

所以.

（Ⅱ）作出 的函数图象，如图所示， ，

令得，

设，则，

所以， .

当时， 是减函数， ，

当时， 是增函数， ，

所以，要使在内有两个根

当且仅当，即，

所以的取值范围是.

不妨设，则， ，

所以， ，

，所以.

所以 .

（或者， ，

所以，所以.）