Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（I）当a=-1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，且AB的中点为C（x₀，0），求证：f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min即可，根据基本不等式可求出 (

1

x

+2x)min；
（II）根据f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，得到

f(x1)=lnx1-ax12-bx1 =0 f(x2)=lnx2-ax22-bx2 =0

，两式相减，可得ln

x1

x2

=[a(x1+x2)+b](x1-x2)，利用中点坐标公式和导数，即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤(

1

x

+2x)min
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

当且仅当x=

2

2

时取“=”，∴b≤2

2

，
∴b的取值范围为（-∞，2

2

]；
（II）证明：由已知得

f(x1)=lnx1-ax12-bx1 =0 f(x2)=lnx2-ax22-bx2 =0

，
即

lnx1=ax12+bx1 lnx2=ax22+bx2

，两式相减，得：ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)?ln

x1

x2

=[a(x1+x2)+b](x1-x2)，
由f′（x）=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得f′（x₀）=

1

x0

-2ax₀-b=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1 )

x1 x2 + 1

-ln

x1

x2

]，
令t=

x1

x2

∈（0，1），且φ（t）=

2t-2

t+1

-lnt  (0＜t＜1)，
∵φ′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴φ（t）是（0，1）上的减函数，
∴φ（t）＞φ（1）=0，
又x₁＜x₂，
∴f'（x₀）＜0．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．