Question

若横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的高和宽应是多少？

Answer 1

解：如下图，设断面的宽为x，高为y，则当函数xy²取极大值时横梁的强度为最大.

又y²=d²－x²，

∴f（x）=xy²=x（d²－x²）（0<x<d）.

f′（x）=d²－3x²，令f′（x）=0，解得x=.

根据实际，当x偏小（接近0）或偏大（接近d）时，强度很小，因此f（）为强度的极大值且同时为最大值.

答：横梁锯成宽为d，高为d时，横梁的强度最大.

点评：解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域.注意所求得的结果一定要符合问题的实际意义.