Question

（2012•温州二模）已知公差不为O的等差数列{a_n}，a₁=1且a₂ a₄-2，a₆成等比数列．
（1 ）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}的通项公式是b_n=2^n-1，集合A={a₁，a₂，…，a_n…}，B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}．将集合A∩B中的元索按从小到大的顺序排成一个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）设等差数列的公差为d，由题意可得(a4-2)2=a2•a6，利用等差数列的通项公式代入可求d，进而可求通项
（II）解法一：利用组合数的性质展开可得b_n=2^n-1=（3-1）^n-1=3K+（-1）^n-1（K∈Z），结合a_n的通项公式可知3K+（（-1）^n-1=3m-2，从而n必为奇数，从而可得数列{c_n}是等比数列，结合等比数列的求和公式即可求解
法二：由题意可知，数列{c_n}是数列{a_n}和数列{b_n}的公共项，可令2^n-1=3m-2，可判断2ⁿ=2•2^n-1=6m-4=3（2m-1）-1不是数列{c_n}的项，2ⁿ⁺¹=2•2ⁿ=12m-8=3（4m-2）-2是数列{c_n}的项，从而可得数列{c_n}的是等比数列，结合等比数列的求和公式即可求解

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d
由题意可得(a4-2)2=a2•a6
即（3d-1）²=（1+d）（1+5d）
解得，d=3或d=0（舍）
∴通项公式a_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）解法一：b_n=2^n-1=（3-1）^n-1=

C

0 n-1

•3n-1-

C

1 n-1

•3n-2+…+(-1)n-2

C

n-2 n-1

•3+(-1)n-1

C

n-1 n-1

=3K+（-1）^n-1（K∈Z）
∵a_n=3n-2
∴3K+（（-1）^n-1=3m-2，从而n必为奇数
∴数列{c_n}是以a₁=b₁=1为首项，4为公比的等比数列
∴cn=4n-1
Sn=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

法二：由题意可知，数列{c_n}是数列{a_n}和数列{b_n}的公共项
令2^n-1=3m-2
则2ⁿ=2•2^n-1=6m-4=3（2m-1）-1不是数列{c_n}的项
2ⁿ⁺¹=2•2ⁿ=12m-8=3（4m-2）-2是数列{c_n}的项
∴数列{c_n}的是以以a₁=b₁=1为首项，4为公比的等比数列
∴cn=4n-1
Sn=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及求和公式的应用，解题的关键是具备一定的 逻辑推理及运算的能力