Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点E，CB与CB₁交于点F．
（I）求证：A₁C⊥平BDC₁；
（II）求二面角B-EF-C的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A₁A⊥底面ABCD，则AC是A₁C在底面ABCD的射影，AC⊥BD，则A₁C⊥BD，同理A₁C⊥DC₁，又BD∩DC₁=D，根据直线与平面垂直的判定定理可知A₁C⊥平面BDC₁．
（Ⅱ）取EF的中点H，连接BH、CH，BH⊥EF，同理CH⊥EF，根据二面角平面角的定义可知∠BHC是二面角B-EF-C的平面角，又E、F分别是AC、B₁C的中点，则EF

∥

.

1

2

AB1，从而△BEF与△CEF是两个全等的正三角形，可求出BH=CH=

3

2

BF=

6

4

，于是在△BCH中，由余弦定理，可求得cos∠BHC，最后利用反三角表示即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵A₁A⊥底面ABCD，则AC是A₁C在底面ABCD的射影．
∵AC⊥BD．∴A₁C⊥BD．
同理A₁C⊥DC₁，又BD∩DC₁=D，
∴A₁C⊥平面BDC₁．
（Ⅱ）取EF的中点H，连接BH、CH，
∵BE=BF=

2

2

，∴BH⊥EF．
同理CH⊥EF．
∴∠BHC是二面角B-EF-C的平面角．
又E、F分别是AC、B₁C的中点，∴EF

∥

.

1

2

AB1．
∴△BEF与△CEF是两个全等的正三角形．
故BH=CH=

3

2

BF=

6

4

．
于是在△BCH中，由余弦定理，得cos∠BHC=

BH2+CH2-BC2

2BH•CH

=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2× 6 4 × 6 4

=-

1

3

∴∠BHC=arccos(-

1

3

)=π-arccos

1

3

．
故二面角B-EF-C的大小为π-arccos

1

3

．

点评：本小题主要考查线面关系，以及二面角的度量和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，属于中档题．