Question

【题目】已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=yf（x）．

（1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；

（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；

（3）若a＞b＞c＞1，且，求证：f（a）f（c）＜[f（b）]2．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）先令y=0，求出方程的实数根，再证明即可.

（2）由条件f（a）＞0，根据单调性的定义即可证明f（x）在上是增函数.

（3）根据不等式的性质即可证明f（a）f（c）＜[f（b）]2．

（1）证明：令y=0，∵对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=yf（x）．

则f（1）=0，因此x=1是方程f（x）=0一个实数根．

先证明以下结论：

设0＜a，a≠1时，假设x，y＞0，则存在m，n，使x=am，y=an，

∵对任意的正实数x和任意的实数y都有f（xy）=yf（x）．

∴f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a），

f（x）+f（y）=f（am）+f（an）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）．

则f（xy）=f（x）+f（y）．

令y=0，则f（x）=0，

若方程f（x）=0还有一个实数根，可得f（x）≡0．

与已知f（x）不恒为0矛盾．

因此：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；

（2）设xy=ac，则y=logxac，

∴设x0∈（0，1），则f（）=（logax0）f（a）＜0，

设x1，x2为区间（0，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，则0＜＜1，

由（1）可得：

f（x1）﹣f（x2）=f（x2）﹣f（x2）=f（）+f（x2）﹣f（x2）=f（）＜0

所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（3）设xy=ac，则y=logxac，

∴f（ac）=f（xy）=yf（x）=（logxac）f（x）

=（logxa+logxc）f（x）=（logxa）f（x）+（logxc）f（x）

=f（/span>）+f（）=f（a）+f（c）

∵b2=ac，

∴f（b2）=f（ac），

即2f（b）=f（a）+f（c），

f（b）= [f（a）+f（c）]，

∴[f（b）]2﹣f（a）f（c）=[]2﹣f（a）f（c）=[]2，

下面证明当x≠1时，f（x）≠0．

假设存在x≠1，f（x0）=0，则对于任意x≠1，f（x）=f（）=（logx）f（x0）=0

不合题意．所以，当x≠1时，f（x）≠0．

因为a＞b＞c＞1，所以存在m≠1，

f（a）﹣f（c）=f（）﹣f（）=（logma﹣logmc）f（m）≠0，

所以f（a）≠f（c），所以f（a）f（c）＜f2（b）．