Question

已知AC，BD为圆O：x²+y²=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，

2

)，求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

分析：设d₁，d₂分别是O到AC，BD的距离，则d12+d22=12+(

2

)2=3，化简S_四边形=S_△CAD+S_△CAB=

1

2

•AC•BD
为2

4+(d1d2)2

，再利用基本不等式求得它的最大值．

解答：解：设d₁，d₂分别是O到AC，BD的距离，则d12+d22=12+(

2

)2=3，
故S_四边形=S_△CAD+S_△CAB=

1

2

•AC•BD=

1

2

•2

22-d12

•2

22-d22

=2

(4-d12)(4-d22)

=2

16-4(d12+d22)+(d1d2)2

=2

4+(d1d2)2

≤2

4+( d12+d22 2 )2

=2

4+( 3 2 )2

=5，
当且仅当d₁=d₂时上式取等号，即d₁=d₂=

6

2

时上式取等号．
故四边形ABCD的面积的最大值为 5．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、基本不等式的应用，属于中档题．