Question

已知直线l：ax-y+

2

-a=0（a∈R），圆O：x²+y²=4．
（Ⅰ）求证：直线l与圆O相交；
（Ⅱ）判断直线l被圆O截得的弦何时最短？并求出最短弦的长度；
（Ⅲ）如图，已知AC、BD为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，

2

），求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）判断直线恒过定点，证明点在圆的内部，即可得到结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线l过定点M(1，

2

)，当l⊥OM时，弦长最短；
（Ⅲ）设圆心O到AC、BD的距离为d₁、d₂，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12+d22=3，表示出AC，BD，可得四边形ABCD的面积，利用基本不等式，即可求得最大值．

解答：（Ⅰ）证明：直线l：y-

2

=a(x-1)，所以直线l过定点(1，

2

)，
∵12+(

2

)2＜4，∴(1，

2

)在圆C内部，
∴直线l与圆C相交．…3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，直线l过定点M(1，

2

)，当l⊥OM时，弦长最短．…4分
∴kl=-

1

kOM

=-

2

2

，∴a=-

2

2

此时，l的方程为x+

2

y-3=0，圆心到直线的距离d=

3

1+2

=

3

所以最短弦长：2

r2-d2

=2

4-3

=2…7分
（Ⅲ）解：设圆心O到AC、BD的距离为d₁、d₂，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12+d22=3
由平面几何知识知：|AC|=2

4-d12

，|BD|=2

4-d22

∴S_{四边形ABCD}=

1

2

|AC|•|BD|=2

4-d12

4-d22

≤(4-d12)+(4-d22)
=8-(d12+d22)=5（当且仅当d₁=d₂取等号）
∴四边形ABCD的面积的最大值为5．…12分．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．