Question

设函数f（x）=-x（x-a）²，x∈R，其中a∈R．
（Ⅰ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）当a＞3时，是否存在实数k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数研究函数的极大值和极小值．
（Ⅱ）将不等式恒成立问题转化为最值恒成立，然后构造函数，利用导数求最值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，所以f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．．
令f'（x）=0，得x=a或x=

a

3

．
①若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x	（-∞， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=

a

3

处取得极小值f(

a

3

)=-

4

27

a3；函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（4分）
②若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x	（-∞，a）	a	（a， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；函数f（x）在x=

a

3

处取得极大值f（

a

3

），且f(

a

3

)=-

4

27

a3．…（6分）
（Ⅱ）假设存在实数k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，
由a＞3，得

a

3

＞1，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由②知f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，
只要k-cosx≤k²-cos²x，即cos²x-cosx≤k²-k成立．
因为g（x）=cos²x-cosx=（cosx-

1

2

）²-

1

4

，所以g（x）的最大值为2．此时有k²-k≥2，解得k≥2或k≤-1．
因为k∈[-1，0]，所以k=-1．
即存在k=-1．使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值和最值问题，运算量较大，综合性较强．考查了学生的运算能力．