Question

知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点.试问轴上是否存在异于的定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

解析试题分析：（1）由离心率为可得到一个关于的方程，再根据MB₁⊥MB₂即可得；（2）本题采用“设而不求”的方法，将A，B两点坐标设出，但不求出.注意到平分，则直线的倾斜角互补这个性质,从而由斜率着手，以韦达定理为辅助工具，得出点P的坐标.
试题解析：（1）由得
又,知是等腰直角三角形，从而.
所以椭圆C的方程是.                                  5分
（2）设，直线AB的方程为
由得，
所以 ①，②                       8分
若平分，则直线的倾斜角互补，
所以
设，则有，                                 10分
将代入上式，整理得，
将①②代入得，由于上式对任意实数都成立，所以.
综上，存在定点，使平分PM平分∠APB.                       13分
考点：1.椭圆的简单几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.斜率公式.