Question

（理） 空间三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（-1，3，1），则（　　）

• A．

  AB

  与

  AC

  是共线向量
• B．

  AB

  的单位向量是（1，1，0）
• C．

  AB

  与

  BC

  夹角的余弦值

  55

  11

• D．平面ABC的一个法向量是（1，-2，5）

Answer 1

分析：A：根据题意两个向量的坐标表示，可得

AB

分别写出

AB

≠λ

AC

，所以

AB

与

AC

不共线．
B：结合题意可得：

AB

的单位向量为：(

2 5

5

，

5

5

，0)或(-

2 5

5

，-

5

5

，0)．
C：根据题意分别写出两个向量的坐标表示，再结合向量的数量积公式求出两个向量夹角的余弦值．
D：设平面ABC的一个法向量是

n

=(x，y，z)，利用

AB • n =0 AC • n =0

，可得x：y：z=1：（-2）：5．

解答：解：A：

AB

=（2，1，0），

AC

=（-1，2，1），所以

AB

≠λ

AC

，所以

AB

与

AC

不共线，所以A错误．
B：因为

AB

=（2，1，0），所以

AB

的单位向量为：(

2 5

5

，

5

5

，0)或(-

2 5

5

，-

5

5

，0)，所以B错误．
C：

AB

=（2，1，0），

BC

=(-3，1，1)，所以cos＜

AB

，

BC

＞=

AB • BC

| AB |  | BC |

=-

55

11

，所以C错误．
D：设平面ABC的一个法向量是

n

=(x，y，z)，因为

AB

=（2，1，0），

AC

=（-1，2，1），所以

AB • n =0 AC • n =0

，即

2x+y=0 -x+2y+z=0

，所以x：y：z=1：（-2）：5，所以D正确．
故选D．

点评：本题主要考查向量之间的运算，即向量坐标形式的数量积运算、向量坐标形式的共线与利用向量的数量积运算求平面的法向量．