题目内容
设数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个2，得到新数列{bn}，设An、Bn分别是数列{an}和{bn}的前n项和．（1）a10是数列{bn}的第几项；
（2）是否存在正整数m，使Bm=2010？若不存在，请说明理由；否则，求出m的值；
（3）设am是数列{bn}的第f（m）项，试比较：Bf（m）与2Am的大小，请详细论证你的结论．
【答案】分析：（1）因为在数列{bn}中，对每一个K∈N*，在ak与ak+1之间有2k-1个2，所以a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+4+…+28 故问题得解；
（2）先根据条件求出am及其前面所有项之和的表达式2n+n2-2，再根据210+102-2=1122＜2010＜211+112-2，即可找到满足条件的m的值；
（3）由（2）知Bf（m）=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+（2m-1）=m2，要比较Bf（m）与2Am的大小，作差，再进行讨论即可．
解答：解：（1）在数列{bn}中，对每一个K∈N*，
在ak与ak+1之间有2k-1个2，∴a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+4+…+28 …（2分）
=
中第521项 …（3分）
（2）an=1+（n-1）•2=2n-1，在数列{bn}中，an及其前面所有项的和为：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2n-1）=
…（5分）
∵210+102-2=1122＜2010＜211+112-2
且2010-1122=888=444×2
∴存在m=521+444=965，使得Bm=2010…（8分）
（3）由（2）知Bf（m）=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+（2m-1）=m2
∴Bf（m）-2Am=（2m+m2-2）-2m2=2m-（m2+2）…（10分）
当m=1时，2m=2，m2+2=3，故2m＜m2+2；
当m=2时，2m=4，m2+2=6，故2m＜m2+2；
当m=3时，2m=8，m2+2=11，故2m＜m2+2；
当m=4时，2m=16，m2+2=18，故2m＜m2+2； …（12分）
当
因而当m=1，2，3，4时，Bf（m）＜2Am；
当m≥5时且m∈N*时，Bf（m）＞2Am…（14分）
点评：本题综合考查了数列与函数的知识．解决第（2）问的关键在于求出am及其前面所有项之和的表达式，有一定的难度．
（2）先根据条件求出am及其前面所有项之和的表达式2n+n2-2，再根据210+102-2=1122＜2010＜211+112-2，即可找到满足条件的m的值；
（3）由（2）知Bf（m）=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+（2m-1）=m2，要比较Bf（m）与2Am的大小，作差，再进行讨论即可．
解答：解：（1）在数列{bn}中，对每一个K∈N*，
在ak与ak+1之间有2k-1个2，∴a10在数列{bn}中的项数为：10+1+2+4+…+28 …（2分）
=
中第521项 …（3分）（2）an=1+（n-1）•2=2n-1，在数列{bn}中，an及其前面所有项的和为：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2n-1）=
…（5分）∵210+102-2=1122＜2010＜211+112-2
且2010-1122=888=444×2
∴存在m=521+444=965，使得Bm=2010…（8分）
（3）由（2）知Bf（m）=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+（2m-1）=m2
∴Bf（m）-2Am=（2m+m2-2）-2m2=2m-（m2+2）…（10分）
当m=1时，2m=2，m2+2=3，故2m＜m2+2；
当m=2时，2m=4，m2+2=6，故2m＜m2+2；
当m=3时，2m=8，m2+2=11，故2m＜m2+2；
当m=4时，2m=16，m2+2=18，故2m＜m2+2； …（12分）
当
因而当m=1，2，3，4时，Bf（m）＜2Am；
当m≥5时且m∈N*时，Bf（m）＞2Am…（14分）
点评：本题综合考查了数列与函数的知识．解决第（2）问的关键在于求出am及其前面所有项之和的表达式，有一定的难度．
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A、bn+1=3bn，且Sn=
| ||
B、bn+1=3bn-2，且Sn=
| ||
C、bn+1=3bn+4，且Sn=
| ||
D、bn+1=3bn-4，且Sn=
|