Question

（2012•黄山模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，A、B分别为椭圆长轴右端点与短轴上端点，坐标原点O到直线AB的距离为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过P（0，2）作斜率为k的直线交椭圆于不同的两点M、N，设

PM

=λ

PN

，记f(λ)=λ+

1

λ

+2，求证：（6f（λ）-32）k²=-3f（λ）；
（Ⅲ）求k与λ的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求直线AB的方程，利用坐标原点O到直线AB的距离为

6

3

，建立方程，根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，可建立另一方程，联立即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）将l：y=kx+2与椭圆方程

x2

2

+y2=1联立消去y得（1+2k²）x²+8kx+6=0，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由

PM

=λ

PN

得λ=

x1

x2

，从而可得f(λ)=λ+

1

λ

+2=

(x1+x2)2

x1x2

=

32k2

3(1+2k2)

，即可证得结论；
（Ⅲ）利用判别式大于0，可确定k的范围，利用f(λ)=λ+

1

λ

+2=

32k2

3(1+2k2)

，可求λ的范围．

解答：（Ⅰ）解：∵A、B分别为椭圆长轴右端点与短轴上端点，
∴直线AB的方程为：

x

a

+

y

b

=1
∴坐标原点O到直线AB的距离为

ab

a2+b2

∵坐标原点O到直线AB的距离为

6

3

∴

ab

a2+b2

=

6

3

①
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，
∴

a2-b2

a2

=

1

2

②
由①②，可得a²=2，b²=1
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1；…（4分）
（Ⅱ）证明：依题意得l：y=kx+2与椭圆方程

x2

2

+y2=1联立消去y得（1+2k²）x²+8kx+6=0
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由

PM

=λ

PN

得x₁=λx₂，∴λ=

x1

x2

…（6分）
∴f(λ)=λ+

1

λ

+2=

(x1+x2)2

x1x2

=

32k2

3(1+2k2)

∴(6f(λ)-32)k2=(

64k2

1+2k2

-32)k2=-

32k2

1+2k2

=-3f(λ)得证…（8分）
（Ⅲ）解：由（1+2k²）x²+8kx+6=0得△=（8k）²-4×6（1+2k²）＞0，
∴k2＞

3

2

，即k＞

6

2

或k＜-

6

2

…（10分）
∵f(λ)=λ+

1

λ

+2=

32k2

3(1+2k2)

，∴4＜f(λ)＜

64

3

…（11分）
∴4＜λ+

1

λ

+2＜

64

3

，∴

1

3

＜λ＜3且λ≠1…（12分）
综上所述：k∈(-∞，-

6

2

)∪(

6

2

，+∞)，λ∈(

1

3

，1)∪(1，3)…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查参数的范围的确定，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．