题目内容
（2012•黄山模拟）函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1、x2（x1≠x2），有
=f′(
)恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x2-2x+3；
③f（x）=
；
④f（x）=ex；
⑤f（x）=lnx．
其中为恒均变函数的序号是
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x2-2x+3；
③f（x）=
| 1 |
| x |
④f（x）=ex；
⑤f（x）=lnx．
其中为恒均变函数的序号是
①②
①②
．（写出所有满足条件的函数的序号）分析：对于所给的每一个函数，分别计算
和f′(
)的值，检验二者是否相等，从而根据恒均变函数”的定义，做出判断．
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
解答：解：对于①f（x）=2x+3，
=
=2，f′(
)=2，满足
=f′(
)，为恒均变函数．
对于②f（x）=x2-2x+3，
=
=
=x1+x2-2
f′(
)=2•
-2=x1+x2-2，故满足
=f′(
)，为恒均变函数．
对于；③f(x)=
，
=
=
，f′(
)=-
=
，
显然不满足
=f′(
)，故不是恒均变函数．
对于④f（x）=ex ，
=
，f′(
)=e
，显然不满足
=f′(
)，故不是恒均变函数．
对于⑤f（x）=lnx，
=
=
，f′(
)=
，
显然不满足
=f′(
)，故不是恒均变函数．
故答案为 ①②．
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| 2x1-2x2 |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
对于②f（x）=x2-2x+3，
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| (x12-2x1)-(x22-2x2) |
| x1-x2 |
| (x1-x2)(x1+x2-2) |
| x1-x2 |
f′(
| x1+x2 |
| 2 |
| x1 +x2 |
| 2 |
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
对于；③f(x)=
| 1 |
| x |
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| ||||
| x1-x2 |
| -1 |
| x1x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 1 | ||
(
|
| 4 |
| (x1+x2)2 |
显然不满足
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
对于④f（x）=ex ，
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| ex1- ex2 |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
对于⑤f（x）=lnx，
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| lnx1-lnx2 |
| x1-x2 |
ln
| ||
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| 2 |
| x1+x2 |
显然不满足
| f(x1)-f(x2) |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| 2 |
故答案为 ①②．
点评：本题主要考查函数的导数运算，“恒均变函数”的定义，判断命题的真假，属于基础题．
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