题目内容

已知a为实数，函数f(x)=x2-2alnx.

（Ⅰ）求f(x)在[1，+∞上的最小值g(a);

（Ⅱ）若a>0,试证明“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=”.

解：（Ⅰ）

   （1）若上连续,

上是单调递增函数.

   （2）若

当

上是单调递减函数；

当上是单调递增函数.

则时，取得最小值.

   （Ⅱ）记

   （1）充分性：若

当在（0，1）上是单调递减函数；

当上是单调递增函数.

时取等号.

有唯一解.

   （2）必要性：若方程

当上是单调递减函数；

       当上是单调递增函数.

       ∴当x=x2时，

      

        

      

       设函数

       至多有一解.

      

       由（1）、（2）知，“方程有唯一解”的充要条件是“”.

练习册系列答案
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15、已知a为实数，函数f（x）=ex（x2-ax+a）．
（Ⅰ）求f′（0）的值；
（Ⅱ）若a＞2，求函数f（x）的单调区间．
已知a为实数，函数f（x）=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（2）若f'（-1）=0，对任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值．
已知a为实数，函数f(x)=
1
1-ax
，g（x）=（1+ax）ex，记F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y-1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函数g（x）的最小值；
（3）当a=-
1
2
时，解不等式F（x）＜1．
已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函数y=f（x）在[-
32
，1]上的最大值和最小值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．
（2010•湖北模拟）已知a为实数，函数f(x)=(x2+
3
2
)(x+a)．
（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（II）当a=
9
4
时，对任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，试求m的取值范围．

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