Question

已知a为实数，函数f(x)=

1

1-ax

，g（x）=（1+ax）e^x，记F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y-1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函数g（x）的最小值；
（3）当a=-

1

2

时，解不等式F（x）＜1．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，根据已知条件函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y-1=0，可得f′（0）=-1，可以求出a值；
（2）a=1代入g（x），对其进行求导，得到极值点，利用导数研究函数的单调性问题；
（3）把a=-

1

2

代入f（x）和g（x），从而得到F（x），再代入不等式F（x）＜1进行求解；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

1-ax

，g（x）=（1+ax）e^x，可得
f′(x)=

a

(1-ax)2

，
∵f'（0）=a=-1，
所以a的值为-1；
（2）由g'（x）=e^x+（1+x）e^x=0得x=-2，
当x＜-2时，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，-2）上单调递减，
当x＞-2时，g'（x）＞0，g（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以函数g（x）的最小值为g（-2）=-e^-2；
（3）当a=-

1

2

时，F(x)=

1

1+ 1 2 x

•(1-

1

2

x)ex＜1，
即

(2-x)ex

2+x

-1＜0，
设m(x)=

(2-x)ex

2+x

-1，
则m（0）=0，m′(x)=

-x2ex

(2+x)2

＜0，
所以m（x）的单调递减区间是（-∞，-2）和（-2，+∞），
而当x＜-2时，总有

(2-x)ex

2+x

-1＜0成立，
所以不等式F（x）＜1的解集是（-∞，-2）∪（0，+∞）．

点评：此题主要考查利用导数研究函数单调性和最值问题，前两问比较简单，第三问考查解不等式，不是一元二次不等式，可以根据导数进行求解，是一道中档题；