Question

已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函数y=f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值和最小值；
（2）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f'（-1）=0，可求得函数解析式，进而可研究函数的单调性，从而确定极值，进而可知最值；
（2）根据切线与横轴平行，对函数求导，使得到函数等于0有实根，得到关于一元二次方程的判别式，求出结果．

解答：解：（1）∵f'（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2．         …（2分）
∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+

1

3

)(x+1)．
由f'（x）＞0，得x＜-1或x＞-

1

3

；                     …（4分）
由f'（x）＜0，得-1＜x＜-

1

3

．因此，函数f（x）的单调增区间为[-

3

2

， -1]，[-

1

3

， 1]；
单调减区间为[-1， -

1

3

]．                                   …（6分）
f（x）在x=-1取得极大值为f（-1）=2；f（x）在x=-

1

3

取得极小值为f(-

1

3

)=

50

27

．
由∵f(-

3

2

)=

13

8

，f（1）=6且

50

27

＞

13

8

∴f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值为f（1）=6，最小值为f(-

3

2

)=

13

8

．   …（8分）
（2）∵f（x）=x³+ax²+x+a，∴f'（x）=3x²+2ax+1．
∵函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，∴f'（x）=0有实数解．   …（10分）
∴△=4a²-4×3×1≥0，∴a²≥3，即 a≤-

3

或a≥

3

．
因此，所求实数a的取值范围是(-∞， -

3

]∪[

3

， +∞)．             …（12分）

点评：本题考查函数的极值点应用，考查利用导数求函数的最值，考查学生分析解决问题的能力．