Question

20．若2x²+y²=1，求$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 运用乘1法，可得$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=（2x²+y²）（$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$），展开后运用基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：由2x²+y²=1，
可得$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=（2x²+y²）（$\frac{9}{2{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$）
=10+$\frac{9{y}^{2}}{2{x}^{2}}$+$\frac{2{x}^{2}}{{y}^{2}}$≥10+2$\sqrt{\frac{9{y}^{2}}{2{x}^{2}}•\frac{2{x}^{2}}{{y}^{2}}}$=10+6=16．
当且仅当$\frac{9{y}^{2}}{2{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}}{{y}^{2}}$，即x²=$\frac{3}{8}$，y²=$\frac{1}{4}$时，
取得最小值，且为16．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．