Question

如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为、.过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为、.

（1）若与的夹角为，且双曲线的焦距为，求椭圆的方程；
（2）求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）先确定双曲线的渐近线方程，根据条件两条渐近线的夹角为，确定与的等量关系，再结合的值，确定与的值，最终确定椭圆的方程；（2）设点的坐标为，并设得到，利用向量的坐标运算得到，，再由点在椭圆上这一条件将点的坐标代入椭圆方程，通过化简得到与离心率之间的关系式，结合基本不等式得到的最大值.
试题解析：（1）因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为．
因为两渐近线的夹角为且，所以．
所以，所以．
 
因为，所以，
所以，．
所以椭圆的方程为；
（2）因为，所以直线与的方程为，其中.
因为直线的方程为，
联立直线与的方程解得点.
设，则.
因为点，设点，则有．
解得，.
因为点在椭圆上，
所以．
即．
等式两边同除以得，，
所以，
 
所以当，即时，取得最大值．
故的最大值为.