Question

已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆G与x轴交于A、C两点，与y轴交于B、D两点，且A点的坐标为（﹣2，0），四边形ABCD的面积为4．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过x轴上一点M（1，0）作一条不垂直于y轴的直线l，交椭圆G于E、F点，是否存在直线l，使得△AEF的面积为，说明理由

Answer 1

解：（1）∵A（﹣2，0），∴AC=4，
由题设知四边形ABCD为菱形，且其面积S==4，
∴BD=2，
∴椭圆G是焦点在x轴上的椭圆，且a=2，b=1，
∴椭圆G的方程为．
（2）∵直线l不垂直于y轴，∴设直线l的方程为x=my+1，
由，得（m²+4）y²+2my﹣3=0，
△=4m²+12（m²+4）＞0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则，，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=，=，
设△AEF的面积为S，则S=，
故=
=9×=9×，
令，则t，
则，
故S≠，所以不存在直线l，使得△AEF的面积为．