Question

如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，EC⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，G为BF的中点，若EG∥面ABCD．
（Ⅰ）求证：EG⊥面ABF；
（Ⅱ）若AF=AB，求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AB的中点M，连接GM，MC，证明CE∥GM，可得EG∥面ABCD，从而EG∥CM，证明EG⊥AB，EG⊥AF，可得EG⊥面ABF．
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，设AB=2，求出平面BEF的法向量=（，1，2），平面DEF的法向量=（-，1，2），利用向量的夹角公式，即可求二面角B-EF-D的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，连接GM，MC，G为BF的中点，所以GM∥FA，
又EC⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，
∴CE∥AF，
∴CE∥GM，
∵面CEGM∩面ABCD=CM，EG∥面ABCD，
∴EG∥CM，
∵在正三角形ABC中，CM⊥AB，又AF⊥CM
∴EG⊥AB，EG⊥AF，
∴EG⊥面ABF．
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，设AB=2，则B（，0，0），E（0，1，1），F（0，-1，2）
=（0，-2，1），=（，-1，-1），=（，1，1），
设平面BEF的法向量=（x，y，z）则，∴可取=（，1，2）
同理，可求平面DEF的法向量=（-，1，2）
设所求二面角的平面角为θ，则cosθ=-．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用线面垂直的判定，求出平面的法向量作是解题的关键．