题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB=AA1=2，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）求三棱锥B1-ADC的体积．
证明：（Ⅰ）∵A1B1=A1C1，点D是棱B1C1的中点．
∴A1D⊥B1C1．
由直三棱柱ABC-A1B1C1，可得BB1⊥B1C．
∵BB1∩B1C1=B1．
∴A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）∵A1B1=A1C1=2，∠B1A1C1=90°，
∴
．
∵点D是棱B1C1的中点，∴
．
∵A1A∥平面BB1C1C，∴点A与A1到平面BB1C1C的距离相等，
∴
=
=
=
．
分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用等积变形即可求出．
点评：熟练掌握线面垂直的判定定理和三棱锥的体积计算公式及等积变形是解题的关键．
∴A1D⊥B1C1．
由直三棱柱ABC-A1B1C1，可得BB1⊥B1C．
∵BB1∩B1C1=B1．
∴A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）∵A1B1=A1C1=2，∠B1A1C1=90°，
∴
．∵点D是棱B1C1的中点，∴
．∵A1A∥平面BB1C1C，∴点A与A1到平面BB1C1C的距离相等，
∴
===．分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用等积变形即可求出．
点评：熟练掌握线面垂直的判定定理和三棱锥的体积计算公式及等积变形是解题的关键．
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