Question

（理）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2012，且对任意x∈R，满足 f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，则f（2012）=

2²⁰¹²+2011

．

Answer 1

分析：先由题目中的两个不等式推导出f（x+6）-f（x）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解．

解答：解：∵f（x+2）-f（x）≤3•2^x，∴f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2=12•2^x，f（x+6）-f（x+4）≤3•2^x+4=48•2^x，
∴以上三式相加可得：f（x+6）-f（x）≤63•2^x．
又∵f（x+6）-f（x）≥63•2^x，∴f（x+6）-f（x）=63•2^x．
∴f（6）-f（0）=63•2⁰，
f（12）-f（6）=63•2⁶，
f（18）-f（12）=63•2¹²，
^…
f（2012）-f（2006）=63•2²⁰⁰⁶，
∴上式相加得：f（2012）-f（0）=63•2⁰+63•2⁶+63•2¹²+…+63•2²⁰⁰⁶=63（2⁰+2⁶+2¹²+…+2²⁰⁰⁶）=2²⁰¹²-1，
∴f（2012）=2²⁰¹²+2011．

点评：本题及考察了抽象函数的相关知识，又考察了数列中的累加法和等比数列求前n项和公式，注重知识点的交汇和灵活运用，属于难题．