Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB⊥x轴与点C，，，动点M到直线AB的距离是它到点D的距离的2倍．
（I）求点M的轨迹方程
（II）设点K为点M的轨迹与x轴正半轴的交点，直线l交点M的轨迹于E，F两点（E，F与点K不重合），且满足．动点P满足，求直线KP的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求点M的轨迹方程，由椭圆的定义知动点M的轨迹是以点D为焦点、直线AB为其相应准线，离心率为的椭圆，只须求出其a，b，c即可．
（II）先设设直线EF的方程为x=my+n，代入椭圆方程得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量条件求得n的值，再利用向量关系式表示出直线KP的斜率，最后求出斜率的取值范围．
解答：解：（I）依题意知，点M的轨迹是以点D为焦点、
直线AB为其相应准线，离心率为的椭圆
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
又，，
∴点D在x轴上，且，则=3
解之得：a=2，c=1，．
∴坐标原点O为椭圆的对称中心．
∴动点M的轨迹方程为：；（4分）
（II）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
设直线EF的方程为x=my+n，
代入得（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0．（5分）
△=36m²n²-12（3m²+4）（n²-4），

.（6分）
∵，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴，∴7n²-16n+4=0．
解得：，n=2（舍）．（8分）
设P（x，y），由知，
．
直线KP的斜率为．（10分）
当m=0时，k=0；
当m≠0时，，
∵时取“=”）
或时取“=”），
∴（12分）
综上所述．（13分）
点评：本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线，向量的运算等基础知识，以及求最值的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．