Question

（选修4-1：几何证明选讲）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，点D为劣弧

.

AB

的中点．
（1）求证：四边形AOBD是菱形；
（2）延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）连接OD．则∠AOD=∠DOB=60°，△AOD、△BOD都是等边三角形，所以四边形四边都相等，判定为菱形；
（2）要证明AP是⊙O的切线，只需证出OA⊥PA即可．连接AC，易证△APB为等边三角形，得AC=CO；根据BP=3OB，可得PC=CO，所以AC=

1

2

PO，从而得∠PAO=90°．

解答：证明：（1）连接OD．
∵∠AOB=120°，点D为劣弧

AB

的中点，
∴∠AOD=∠DOB=60°．
∵OA=OD=OB，
∴△AOD、△BOD都是等边三角形，
∴OA=OB=BD=AD，
∴四边形AOBD是菱形．
（2）连接AC．
∵BP=3OB，OB=OC，∴PC=CO．
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．
又OA=OC，∴△AOC是等边三角形，AC=OC．
∴AC=

1

2

PO．∴∠PAO=90°．∴OA⊥PA，
∴AP是⊙O的切线．

点评：本题考查菱形的证明，切线的判定，是中档题．解题时要认真审题，注意菱形的判定等知识点的灵活运用．