Question

（本题满分14分）

如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

(1)通过已知中的平面⊥平面，那么结合平面，和⊥平面，从而得到线线平行∥，利用线面平行的性质来证明。

(2)

【解析】

试题分析：解：（I）证明：过点作于点，

∵平面⊥平面  ∴平面

又∵⊥平面

∴∥ 又∵平面

∴∥平面……6分

（Ⅱ）∵平面

∴ 又∵

∴  ∴

∴点是的中点，连结，则

∴平面  ∴∥，

∴四边形是矩形  ……8分

设

∴，  ∴

过作于点，

∴，

取中点，连结，取的中点，连结

∵， ∴∥

∵  ∴   ∴

∴为二面角的平面角……12分

连结，则 又∵

∴

即二面角的余弦值为……14分

方法二:

（I）同方法一   ……………………………………6分

（Ⅱ）∵平面

∴，又∵

∴  ∴

∴点是的中点，连结，则

∴平面  ∴∥，

∴四边形是矩形  ……………………8分

分别以为轴建立空间直角坐标系

设，则，，，

设平面的法向量为

∵，

∴

又∵平面的法向量为 ……12分

设二面角为，则

又∵二面角是钝角

∴ ………………………………14分

考点：本试题考查了空间中平行的证明，以及二面角的求解。

点评：解决该试题的关键是利用线面平行的判定定理分析得到第一问，这是一般的解题思路，同时对于二面角的求解可以先作，后证明，再解，也可以建立直角坐标系，进而结合向量的知识来分析得到结论，属于中档题。