题目内容
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，Q分别是BB1，BC1中点，点P在线段C1M上，且| C1P |
| C1M |
（1）用向量
| AB |
| AC |
| AA1 |
| AQ |
（2）用向量
| AB |
| AC |
| AA1 |
| AP |
（3）若AP与平面A1BC交于N，
| AN |
| AP |
分析：（1）利用向量的平行四边形法则，用向量
，
表示向量
，再利用
=
(
+
)，即可得到用向量
，
，
表示向量
；
（2）利用向量的三角形法则，可得向量
，
，
表示向量
；
（3）利用空间向量的基本定理即可得出．
| AC |
| AA1 |
| AC1 |
| AQ |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC1 |
| AB |
| AC |
| AA1 |
| AQ |
（2）利用向量的三角形法则，可得向量
| AB |
| AC |
| AA1 |
| AP |
（3）利用空间向量的基本定理即可得出．
解答：解：（1）∵
+
=
，
=
(
+
)，
∴
=
(
+
+
)．
（2）∵
=x
，
又
=
+
=
-
=
-
-
，
∴
=
+
=
+
+x
=
+
+x(
-
-
)
=(1-
x)
+(1-x)
+x
．
（3）由空间向量的基本定理可设
=k
+m
+n
，
∵四点A1、B、C、N共面，∴k+m+n=1．
∵
=y
，
∴y[(1-
x)
+(1-x)
+x
]=k
+m
+n
，
∴
，利用k+m+n=1，
可得yx+y(1-x)+y(1-
x)=1，
化为y=
(0≤x≤1)即为所求的关系式．
| AA1 |
| AC |
| AC1 |
| AQ |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC1 |
∴
| AQ |
| 1 |
| 2 |
| AC |
| AB |
| AA1 |
（2）∵
| C1P |
| C1M |
又
| C1M |
| C1B1 |
| B1M |
| CB |
| 1 |
| 2 |
| AA1 |
=
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AA1 |
∴
| AP |
| AC1 |
| C1P |
| AA1 |
| AC |
| C1M |
=
| AA1 |
| AC |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AA1 |
=(1-
| 1 |
| 2 |
| AA1 |
| AC |
| AB |
（3）由空间向量的基本定理可设
| AN |
| AB |
| AA1 |
| AC |
∵四点A1、B、C、N共面，∴k+m+n=1．
∵
| AN |
| AP |
∴y[(1-
| 1 |
| 2 |
| AA1 |
| AC |
| AB |
| AB |
| AA1 |
| AC |
∴
|
可得yx+y(1-x)+y(1-
| 1 |
| 2 |
化为y=
| 2 |
| 4-x |
点评：本题综合考查了平面向量的三角形法则、平行四边形法则、空间向量的基本定理、三点共面的性质定理等基础知识与基本技能，属于难题．
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