Question

函数f（x）=log_a（x+1）的图象关于原点对称的图象的解析式是y=g（x），若a＞1且0≤x＜1时，关于x的方程2f（x）+g（x）-m=0有实数根，则实数m取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，进而可得M（x，y）关于原点的对称点为N的坐标，代入f（x）中进而求得x和y的关系式，再利用对数的运算性质的得到
log_a

(x+1)2

1-x

=m，设F（x）=log_a

(x+1)2

1-x

，求m的范围就是求出F（x）的值域即可

解答： 解：设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，
则M（x，y）关于原点的对称点为N（-x，-y）
N在函数f（x）=log_a（x+1）的图象上，
∴-y=log_a（-x+1）
∴y=log_a

1

1-x

，
即g（x）=log_a

1

1-x

，
∵a＞1且0≤x＜1时，关于x的方程2f（x）+g（x）-m=0有实数根，
∴2log_a（x+1）+log_a

1

1-x

=m，
即log_a

(x+1)2

1-x

=m，
设F（x）=log_a

(x+1)2

1-x

再设h（x）=

(x+1)2

1-x

，
∴h′（x）=-

(x-3)(x+1)

(1-x)2

，
∵0≤x＜1，
∴h′（x）＞0，
故函数h（x）在[0，1）上为增函数，
∴1≤h（x）＜+∞
∵a＞1，
∴F（x）在[0，1）上为增函数，
∴F（x）_min=F（1）=0，
故F（x）≥0，
即m≥0，
故实数m取值范围是[0，+∞）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性单调性的应用和对数的运算性质，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题