Question

【题目】已知函数 (为实常数) ．

（I）当时，求函数在上的最大值及相应的值；

（II）当时，讨论方程根的个数．

（III）若，且对任意的，都有，求

实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，当时，取等号;(Ⅱ) 当时，即时，方程有2个相异的根；当 或时，方程有1个根；当时，方程有0个根;(Ⅲ)

【解析】试题分析：（I）把代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（II）方程根的个数等价于时，方程根的个数, 设=，求导话简图，利用数形结合讨论即可得解；
（III）a>0， 等价于，原题等价于函数在时是减函数， 恒成立，即在时恒成立，进而求函数最值即可.

试题解析：

（I），

当时， ，所以单调递减；

当时， ，所以单调递增.

又，

故，当时，取等号.

（II）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数。

设=，

当时， ，函数递减，当时， ，函数递增。又， ，作出与直线的图像，

由图像知：

当时，即时，方程有2个相异的根；

当 或时，方程有1个根；

当时，方程有0个根;

（III）当时， 在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于

即，故原题等价于函数在时是减函数，

恒成立，即在时恒成立。

在时是减函数，所以.

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