Question

9、在（1+x+x²）（1-x）¹⁰的展开式中，含x⁴的系数为

135

．

Answer 1

分析：先将多项式展开，转化为二项式系数的和差，利用二项展开式的通项公式求出各项系数即可．

解答：解：∵（1+x+x²）（1-x）¹⁰=（1-x）¹⁰+x（1-x）¹⁰+x²（1-x）¹⁰
∴（1+x+x²）（1-x）¹⁰展开式中含x⁴的系数为
（1-x）¹⁰的含x⁴的系数加上其含x³的系数加上其含x²项的系数
∵（1-x）¹⁰展开式的通项为T_r+1=C₁₀^r（-x）^r
令r=4，3，2分别得展开式含x⁴，x³，x²项的系数为C₁₀⁴，-C₁₀³，C₁₀²
故（1+x+x²）（1-x）¹⁰展开式中含x⁴的系数为
C₁₀⁴-C₁₀³+C₁₀²=135，
故答案为135

点评：本题考查等价转化能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．