Question

已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（-cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=．
（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．
（2）求b+c的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个向量的数量积公式求出-cosA=，又A∈（0，π），可得A的值，由三角形面积及余弦定理求得 b+c的值．
（2）由正弦定理求得b+c=4sin（B+），根据B+的范围求出sin（B+）的范围，即可得到b+c的取值范围．
解答：解：（1）∵=（-cos，sin），=（cos，sin），
且 =（-cos，sin）•（cos，sin）=-cos²+sin²=-cosA=，
即-cosA=，又A∈（0，π），∴A=…．（3分）   又由S△ABC=bcsinA=，所以bc=4．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cos=b²+c²+bc，∴16=（b+c）²，故 b+c=4．…（7分）
（2）由正弦定理得：====4，又B+C=π-A=，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（-B）=4sin（B+），
∵0＜B＜，则＜B+＜，则＜sin（B+）≤1，
即b+c的取值范围是（2，4]． …（12分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦定理及余弦定理，二倍角公式，根据三角函数的值求角，以及正弦函数的定义域和值域，综合性较强．