Question

已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若m=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，n=(cos

A

2

，sin

A

2

)，a=2

3

，且m•n=

1

2

．
（1）求角A的值．
（2）求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）的求解可由两向量的数量积为

1

2

建立方程求解，易求．
（2）求b+c值，因题设条件大都是关于角的，且仅知道一角的大小，故本题家根据正弦正理化边为角，利用三角函数的公式化简，再根据化简后的结果定求值的方法，根据化简后的形式知晓，最后求范围时要根据三角的有界性求解这是三角函数中求最值时常用的转化方向．

解答：解：（1）m=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，
n=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且m•n=

1

2

．
∴-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，即-cosA=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

2π

3

；
（2）由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2 3

sin 2π 3

=4，
又B+C=π-A=

π

3

，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(

π

3

-B)=4sin(B+

π

3

)（8分）
∵0＜B＜

π

3

，则

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

．
则

3

2

＜sin(B+

π

3

)≤1，即b+c的取值范围是(2

3

，4].（10分）

点评：本题每一小题直接考查公式，易求解，第二小题的求解有一定难度，用到了正弦定理化边为角，在变形时先用两角差的正弦公式展开，整理后又用两角和的公式化简，最后又根据角的范围求解b+c的取值范围，较繁琐，充分体现了三角函数解题的特点，公式众多变形多．