Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=2，CC₁=3，点E在BB₁上且BE=1，过点A，E，C₁的平面截长方体，截面为AEC₁F（F在DD₁上）．
（1）求BF的长度；  
（2）求点C到截面AEC₁F的距离．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，DA为x轴建立空间直角坐标系，求出F，B的坐标，即可求BF的长度；  
（2）求出平面AEC₁F的一个法向量，即可求点C到截面AEC₁F的距离．

解答：解：（1）以D为坐标原点，DA为x轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）
设F（0，0，c），则由题意

AF

=

EC1

，
∴（-2，0，c）=（-2，0，2），∴z=c
∴F（0，0，2）
∵B（2，4，0），∴BF=

22+42+22

=2

6

；
（2）设平面AEC₁F的一个法向量

n

=（x，y，z），则由

n • AF =-2x+2z=0 n • AE =4y+z=0

可得

n

=(4，-1，4)为平面AEC₁F的一个法向量，
又

CC1

=(0，0，3)，
故点C到平面AEC₁F的距离为d=

| CC1 • n |

| n |

=

12

33

=

4 33

11

点评：本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．