Question

【题目】（1）求经过点，且离心率为的椭圆的标准方程；

（2）已知双曲线与椭圆：有相同的焦点，且过点，求双曲线的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】

（1）讨论焦点在在x轴上或焦点在y轴上.根据离心率、端点坐标,结合椭圆中,可求得椭圆的标准方程.

（2）根据椭圆的标准方程,可求得焦点坐标.代入点的坐标,结合,即可求得双曲线的标准方程.

（1）若椭圆的焦点在x轴上,设其方程为（）,

因为经过点,且离心率为,所以,,

又,得,

所以椭圆的标准方程为.

若椭圆的焦点在y轴上,设其方程为（）,

因为经过点,且离心率为,所以,,又,得,

所以椭圆的标准方程为.

综上,椭圆的标准方程为或.

（2）因为椭圆的焦点为,,且双曲线与椭圆有相同的焦点,

所以设双曲线的标准方程为（,）,

得,又双曲线过点,得,

联立解得

所以双曲线的标准方程为.