Question

【题目】已知函数

（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若，函数在处取得极小值，证明：.

Answer 1

【答案】（1），（2）见解析

【解析】

（1）要使函数在区间上单调递增，只要其导函数大于等于零在区间上恒成立即可，然后分离参数构造函数进行求解

（2）由函数在处取得极小值可求出和的取值范围， 所以要证，只需证明成立即可，然后构造函数利用导数即证明.

解：（1）因为函数在区间上单调递增，所以≥0在上恒成立，

即≥0，

因为，所以≤在上恒成立，

令，，则，

所以在上递减，所以

所以当≤0时，在区间上单调递增，

所以a的取值范围，

（2）因为函数在处取得极小值，所以，即，

得，所以

的定义域为，

因为 ，所以，

设的两个根为，

解得，

由，得，

所以当时，； 当时，

又因为在处取得极小值，所以，

要证，只需证明成立即可，

令，则，

所以在上为减函数，

所以，

所以