Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=xlnx，知f'（x）=lnx+1，令lnx+1=0，得x=

1

e

，由此能求出f（x）的最小值．
（2）由f（x）先减后增，最小值为f（

1

e

）=-

1

e

，f（x）=xlnx定义域是{x|x＞0}，f（1）=0，作出函数f（x）=xlnx草图，由此能当判断关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．

解答：解：（1）∵f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1，
令lnx+1=0，得x=

1

e

，
当x＞

1

e

时，f'（x）＞0，
当0＜x＜

1

e

时，f'（x）＜0
所以f（x）先减后增，最小值为f（

1

e

）=-

1

e

．
（2）由（1）知，f（x）先减后增，最小值为f（

1

e

）=-

1

e

，
f（x）=xlnx定义域是{x|x＞0}，f（1）=0，
画出函数f（x）=xlnx草图，

结合图象和最小值为f（

1

e

）=-

1

e

，知：
当m＜-

1

e

时，关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）无解；
当-

1

e

＜m＜0时，关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）有两个解；
当m=-

1

e

或m≥0时，关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）有唯一解．

点评：本题考查函数的最小值的求法和判断关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．