题目内容

已知函数f(x)=2sin2(
π
4
-x)-
3
cos2x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若f（x）＜m+2在[0，
π
6
]上恒成立，求实数m的取值范围．
（1）f(x)=2sin2(
π
4
-x)-
3
cos2x
=1-cos（
π
2
-2x）-
3
cos2x
=1-sin2x-
3
cos2x
=1-2sin（2x+
π
3
），
故最小正周期T=
2π
2
=π，
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，得-
5π
12
+kπ≤x≤
π
12
+kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[-
5π
12
+kπ，
π
12
+kπ]（k∈Z）．
（2）x∈[0，
π
6
]，则2x+
π
3
∈[
π
3
，
2π
3
]，则sin（2x+
π
3
）∈[
3
2
，1]，
则f（x）∈[-1，1-
3
]，即f（x）在[0，
π
6
]上的值域为[-1，1-
3
]．
因为f（x）＜m+2在[0，
π
6
]上恒成立，所以m+2＞1-
3
，
解得m＞-1-
3
．
所以实数m的取值范围为（-1-
3
，+∞）．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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