某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳 .其主体是一个半径为5米的球体.需设计一个透明的支撑物将其托起.该支撑物为等边圆柱形的侧面.厚度忽略不计．轴截面如图所示.设∠OAB=α．(注:底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．)(1)用α表示圆柱的高,(2)实践表明.当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时.景观的观赏效果最佳.求此时α的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设∠OAB=α．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）
（1）用α表示圆柱的高；
（2）实践表明，当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时α的值．

分析（1）作OM⊥AB于点M，利用直角三角形的边角关系可得：AM=OAcosα=5cosα，由已知可得四边形ABCD为正方形，即可得出．
（2）由余弦定理得：$O{D^2}={5^2}+{（10cosα）^2}-2×5×（10cosα）cos（\frac{π}{2}+α）$，利用倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质即可得出．

解答解：（1）作OM⊥AB于点M，则在直角三角形OAM中，
因为∠OAB=α，
所以AM=OAcosα=5cosα，…（3分）
因为四边形ABCD是等边圆柱的轴截面，
所以四边形ABCD为正方形，
所以AD=AB=2AM=10cosα． …（6分）
（2）由余弦定理得：$O{D^2}={5^2}+{（10cosα）^2}-2×5×（10cosα）cos（\frac{π}{2}+α）$…（8分）
=25+100cos²α+50sin2α
=25+50（1+cos2α）+50sin2α
=50（sin2α+cos2α）+75
=50$\sqrt{2}$sin$（2α+\frac{π}{4}）$+75．…（10分）
因为$α∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$2α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}）$，
所以当2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{8}$时，OD²取得最大值$50\sqrt{2}+75$=$25{（\sqrt{2}+1）^2}$，…（12分）
所以当α=$\frac{π}{8}$时，OD的最大值为$5（\sqrt{2}+1）$．
答：当α=$\frac{π}{8}$时，观赏效果最佳． …（14分）

点评本题考查了直角三角形的边角关系、正方形的性质、余弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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