Question

已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a_n}的通项a_n=1+．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
解答：解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）=，且f′（0）=0…3分
若λ＜，则当0＜x＜2（1-2λ）时，f′（x）＞0，所以当0＜x＜2（1-2λ）时，f（x）＞0，
若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0，所以当x＞0时，f（x）＜0
综上，λ的最小值为…6分
（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x=，则…9分
于是a_2n-a_n+=++…++
=
=
=
=＞=ln2n-lnn=ln2
所以…12分
点评：本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度