Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（其中为坐标原点），求整数的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最大整数值为1.

【解析】

试题分析：：（1）由题意可得e=即c²= ∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为与直线相切．∴圆心到直线的距离d=b,

1=b∵a²=b²+c²∴a²=2，b=1∴椭圆C的方程为

(2)由题意知直AB的斜率存在． AB：y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）代入椭圆方程，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，结合韦达定理以及，可知整数t的范围是最大整数值为1.。

考点：椭圆的性质

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，处理此类问题常用的方法是联立方程，结合方程的思想进行求解