题目内容

已知向量 $数学公式$ =（sinx， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（2sinx，sinx），设 $数学公式$ ，
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若 $数学公式$ ，求f（x）的值域；
（3）若f（x）的图象按 $数学公式$ =（t，0）作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求 $数学公式$ 的坐标．

解： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （4分）
（1）最小正周期为： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （k∈Z） $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴单调递增区间为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]（k∈Z）（7分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴f（x）∈[-1，2]（10分）
（3） $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴f（x）的对称中心坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）（k∈Z）
∵f（x）的图象按 $\text{[math]}$ 的长度最短的平移
∴ $\text{[math]}$ （13分）
分析：（1）由已知中向量 $\text{[math]}$ =（sinx， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（2sinx，sinx），设 $\text{[math]}$ ，根据向量数量积计算公式，我们易求出f（x）的解析式，利用降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，我们可将其化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质，得到（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）根据（1）中所得函数f（x）的解析式，结合 $\text{[math]}$ 及正弦型函数的图象和性质，可求出此时f（x）的值域；
（3）f（x）的图象按 $\text{[math]}$ =（t，0）作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，即此时原点是f（x）的对称中心，根据（1）中解析式，求出函数f（x）的距离原点最近的对称中心，即可得到 $\text{[math]}$ 的坐标．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的周期，单调性，最值及函数图象的平移变换，是三角函数图象和性质与平面向量的综合应用，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．