Question

已知函数f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b，
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x₁、x₂，且x₁、-b、x₂成等差数列；
（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ），
x=0是极大值点，，
∴c=0；
（Ⅱ）令，
由f（x）的单调性知，
∵-b是方程f（x）=0的一个根，
则，
，
方程的根的判别式，
又，
即-b不是方程的根，
∴f（x）=0有不同于-b的根，
，
∴成等差数列。
（Ⅲ）根据函数的单调性可知，x=0是极大值点，
，
∴，
令，
求导，
，
∴上单调递减，
∴，即。