Question

设a₀为常数,且a_n=3^n-1-2a_n-1(n∈N^*).?证明:对任意n≥1,a_n=［3ⁿ+(-1)^n-1·2ⁿ］+(-1)ⁿ·2ⁿa₀.

      

Answer 1

证明:(1)当n=1时,由已知a₁=1-2a₀,等式成立.?

       (2)假设当n=k(k≥1)时等式成立,即a_k=［3^k+(-1)^k-1·2^k］+(-1)^k·2^ka₀,?

       那么a_k+1=3k-2a_k=3^k-［3^k+(-1)^k-1·2^k］-(-1)^k2^k+1a₀??

       =［3^k+1+(-1)^k·2^k+1］+(-1)^k+1·2^k+1a₀,?

       也就是说,当n=k+1时,等式也成立.?

       根据(1)(2)可知等式对任何n∈N^*都成立.