Question

如图所示，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上．设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．
解答：解：由题意，PN=OP•sinθ=，ON=OPcosθ=cosθ，OM==sinθ
∴MN=ON-OM=cosθ-sinθ
∴y=sinθ（cosθ-sinθ），
即y=3sinθcosθ-sin²θ，θ∈（0，）
∴y=sin（）-
∵θ∈（0，）
∴
∴sin（）∈
∴，即时，y的最大值为．
点评：本题考查三角函数模型的建立，考查三角函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．